Der Skin-Effekt in zylindrischen und rechteckigen Leitern: Wirbelströme und Stromverdichtung

Ein zeitlich veränderlicher Strom weist eine ungleichmäßige Verteilung über die Querschnittsfläche des Leiters auf. Um den Hochfrequenzwiderstand eines Leiters zu approximieren, können wir davon ausgehen, dass der gesamte Strom gleichmäßig in einer Schicht von einer Hauttiefe direkt unter der Leiteroberfläche fließt. Diese Näherung wird tatsächlich für einen Sonderfall erreicht, bei dem der Leiter ein Halbraum ist.

In der Praxis haben reale Leiter endliche Abmessungen und können einen kreisförmigen oder rechteckigen Querschnitt haben. Es stellt sich die Frage, ob die für einen leitfähigen Halbraum erzielten Ergebnisse auf andere Drahttypen übertragen werden können.

Wir können die Maxwell-Gleichungen für einen guten Leiter lösen, um die folgende Differentialgleichung für die Stromdichte J zu finden:

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Wenn Sie mit Vektorrechnungskonzepten vertraut sind, wird das einschüchternde Symbol ∇2 (Del im Quadrat) als Laplace-Operator bezeichnet. Vereinfacht ausgedrückt ist der Laplace-Operator eine Verallgemeinerung des Konzepts der zweiten Ableitung in Räumen mit mehr als einer Dimension. Es ist gegeben durch:

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

Gleichung 1 beschreibt die Stromverteilung in einem guten Leiter. Sie gilt sowohl für einen leitenden Halbraum als auch für einen Draht mit kreisförmigem Querschnitt. Die Lösungen, die wir für diese beiden Medientypen erhalten, sind jedoch völlig unterschiedlich. Für einen leitenden Halbraum ist die Stromdichte eine einfache exponentiell abfallende Sinusfunktion (wenn wir davon ausgehen, dass es sich um eine ebene Welle handelt). Aber was ist mit einem zylindrischen Leiter?

Aufgrund Ihrer Erfahrung in anderen Bereichen der Physik, in denen es um eine zylindrische Basis geht, haben Sie vielleicht richtig vermutet, dass die Antwort auf Gleichung 1 Bessel-Funktionen beinhalten sollte, wenn der Draht einen kreisförmigen Querschnitt hat. Für uns Ingenieure, die immer versuchen, ein einfaches Modell für verschiedene Phänomene zu entwickeln, sind das keine guten Nachrichten. Bessel-Funktionen sind bei der Modellierung eines breiten Spektrums physikalischer Probleme nützlich, von der Wärmeleitung in einem zylindrischen Objekt bis zur Beschreibung der Schwingungen einer dünnen kreisförmigen Membran wie einem Trommelfell. Allerdings kann es schwierig sein, sie zu visualisieren, und sie sind offensichtlich viel weniger eindeutig als eine einfache exponentiell abklingende Sinuswelle.

Aufgrund der Komplexität dieser Funktionen gehen wir nicht auf die mathematischen Details der Analyse ein und betrachten nur die Ergebnisse, die im Buch „Fields and Waves in Communication Electronics“ von Simon Ramo vorgestellt werden. Abbildung 1 zeigt die normalisierte Größe der Stromverteilung über den Querschnitt eines Runddrahts mit 1 mm Durchmesser bei vier verschiedenen Frequenzen.

Der Parameter r0 im obigen Diagramm bezeichnet den Radius des Drahtes. Bei einer Frequenz (f) von 1 kHz ist die Eindringtiefe etwa 4,2-mal größer als der Radius des Leiters (oder äquivalent r0/δ = 0,239). Wie Sie sehen, ist die Stromverteilung in diesem Fall nahezu gleichmäßig.

Mit zunehmender Frequenz nimmt die Skin-Tiefe ab und das Verhältnis r0/δ steigt von 0,239 bei 1 kHz auf 7,55 bei 1 MHz. Beachten Sie, dass selbst für r0/δ=2,39 die Stromdichte in der Mitte des Drahtes fast halb so groß ist wie an der Oberfläche des Leiters. Dies steht nicht im Einklang mit der vereinfachten Beschreibung des Skin-Effekts, die besagt, dass die Stromdichte in einer Tiefe von δ auf e-1 = 0,37 ihres Oberflächenwerts abnimmt.

Abbildung 2 vergleicht die tatsächlichen Stromverteilungen für r0/δ=2,39 und r0/δ=7,55 mit der exponentiell abfallenden Verteilung der Stromdichte (die der Wellenausbreitung in einem leitenden Halbraum entspricht). Wie Sie sehen, können die Ergebnisse des Halbraumfalls nur dann zur Annäherung an die tatsächliche Stromverteilung in einem runden Draht verwendet werden, wenn der Krümmungsradius des Leiters viel größer als die Eindringtiefe ist.

Als Faustregel gilt: Wenn alle Krümmungsradien und Dicken des Leiters mindestens drei- bis viermal größer sind als die Eindringtiefe, gehen wir davon aus, dass ein gegebener Leiter einem halbunendlichen Block ähnelt. Bisher haben wir uns in dieser zweiteiligen Serie auf die Lösung der Maxwell-Gleichungen verlassen, um einige der wichtigsten Merkmale des Skin-Effekts zu beschreiben. Ein tieferer (und vielleicht nützlicherer) Einblick in diesen Effekt kann gewonnen werden, wenn man bedenkt, wie das Faradaysche Induktionsgesetz Wirbelströme im Inneren des Leiters erzeugen kann. Mit dieser Erkenntnis können wir besser verstehen, wie sich verschiedene Verbindungen verhalten.

Nach dem Faradayschen Gesetz induziert ein sich änderndes Magnetfeld eine elektromotorische Kraft (und damit einen Strom) in einem leitenden Draht. Das einfache und bekannte Experiment in Abbildung 3(a) veranschaulicht die Grundidee dieses Gesetzes. Indem man einen Magneten näher an eine Drahtschleife heranbringt, wird im Draht eine EMK induziert, die folglich einen induzierten Strom erzeugt.

Die induzierte EMK ist direkt proportional zur zeitlichen Änderungsrate des magnetischen Flusses durch den Stromkreis. Außerdem neigt der induzierte Strom dazu, der Änderung des ursprünglichen magnetischen Flusses entgegenzuwirken, der den induzierten Strom überhaupt erst erzeugt hat (Lenzsches Gesetz).

Abbildung 3(b) zeigt den induzierten magnetischen Fluss, wenn der Magnet näher an die Drahtschleife gebracht wird. Das induzierte Magnetfeld ist so ausgerichtet, dass es versucht, eine Änderung des ursprünglichen Magnetflusses zu verhindern.

So wie ein sich änderndes Magnetfeld einen Strom in einer Schleife induzieren kann, kann es auch in einem großen Metallstück zirkulierende Ströme erzeugen, wenn es in ein sich änderndes Magnetfeld gebracht wird. Diese zirkulierenden Ströme werden als Wirbelströme bezeichnet, wie in Abbildung 4 dargestellt.

Beachten Sie erneut die Richtung des induzierten Stroms. Unter der Annahme, dass das Magnetfeld der Spule in der dargestellten Richtung zunimmt, wird ein Strom entgegen dem Uhrzeigersinn induziert, um ein Magnetfeld zu erzeugen, das Änderungen im ursprünglichen Magnetfeld der Spule entgegenwirkt.

Wenn Strom durch einen Draht fließt, erzeugt er sowohl innerhalb als auch außerhalb des Drahtes ein Magnetfeld. Bei Wechselstrom entsteht im Inneren des Drahtes ein zeitlich veränderliches Magnetfeld, das gemäß dem Faradayschen Gesetz Wirbelströme im Inneren des Drahtes erzeugt. Dies ist in Abbildung 5 unten dargestellt.

Wie man sieht, fließen die Wirbelströme nahe der Oberfläche des Leiters in Richtung des Hauptstroms, in den inneren Teilen des Leiters jedoch in die entgegengesetzte Richtung. Somit erhöht sich der Gesamtstrom, der in der Nähe der Oberfläche des Leiters fließt, während der Strom, der durch tiefere Schichten des Leiters fließt, abnimmt.

Es ist zu beachten, dass bestimmte Oberflächen eines Leiters Wechselstrom besser transportieren können als andere. Um dies zu verstehen, erinnern wir uns an unsere obige Diskussion, dass sich ändernde Magnetfelder den Skin-Effekt verursachen. Wenn nun die Magnetfelder an einer bestimmten Oberfläche des Leiters stärker sind, können wir davon ausgehen, dass diese Oberfläche einen größeren Teil des Stroms leitet. Betrachten Sie beispielsweise den Querschnitt einer Mikrostreifenleitung wie in Abbildung 6 dargestellt.

Abbildung 6 zeigt das allgemeine Muster der elektrischen und magnetischen Felder sowie die grobe Stromverteilung in einer Mikrostreifenleitung. Bitte beachten Sie, dass es sich hierbei nicht um ein simuliertes Ergebnis handelt. Es zeigt nur das grobe Verhalten!

Ist Ihnen aufgefallen, dass die Magnetfelder zwischen der Unterseite der Leiterbahn und der Masseebene stärker konzentriert sind? Dadurch führt die Unterseite des Mikrostreifens mehr Strom als seine Oberseite. Beispielsweise könnten etwa 60 % des Stroms im dunkel schattierten Bereich der Leitungsquerschnittsfläche konzentriert sein. Das Phänomen der Stromansammlung an einer bestimmten Oberfläche aufgrund der Wirkung eines benachbarten stromführenden Leiters wird als Proximity-Effekt bezeichnet.

Ein ähnlicher Effekt wird beim Umgang mit zwei parallelen zylindrischen Drähten beobachtet (Abbildung 7). In dieser Abbildung ist die Richtung des Stromflusses in den beiden Leitern entgegengesetzt und daher ist das Magnetfeld zwischen den Drähten am stärksten. Dadurch kommt es zu einem strömenden Gedränge auf den einander zugewandten Flächen.

Es ist interessant festzustellen, dass selbst bei einem isolierten Draht (ohne Proximity-Effekt) möglicherweise nicht alle Oberflächen eines Leiters die gleiche Strommenge führen. Die Stromverteilung eines dünnen, breiten, rechteckigen Leiters ist beispielsweise in Abbildung 8 dargestellt. Wie Sie sehen können, ist die Stromdichte an den vertikalen Flächen größer als an den horizontalen Flächen. Dies liegt daran, dass an diesen Oberflächen stärkere Magnetfelder vorhanden sind.

Anhand der oben gezeigten Ergebnisse für einen dünnen rechteckigen Leiter können Sie möglicherweise erraten, wie die Stromverteilung für einen quadratischen Leiter aussieht. Abbildung 9 zeigt die Stromdichte in einem Leiter mit quadratischem Querschnitt. In den vier Ecken ist die Stromdichte am höchsten.

Wie wir am Anfang dieses Artikels besprochen haben, sind die Stromverteilung und die Skin-Tiefe eine Funktion der Frequenz. Natürlich hängt die aktuelle Überfüllung dann auch von der Frequenz des Wechselstromsignals ab. Bei Gleichstromsignalen wird es keine Stromüberlastung geben und diese wird mit zunehmender Frequenz (bis zu einem bestimmten Punkt) zunehmen.

Bei Stromverdichtung treten bei Leitern Sekundäreffekte auf, die bei realen Anwendungen berücksichtigt werden müssen. Der effektive Widerstand eines Leiters kann höher sein, als wenn wir von einer konstanten Stromverteilung ausgehen. Der Stromstau kann auch zu erhöhter Erwärmung und Spannung in den Leitern führen. Wenn Sie neue Designs erstellen, die zeitlich veränderliche Signale verwenden, empfiehlt es sich, stets die möglichen Auswirkungen von Wirbelströmen und Stromverdichtung auf die Schaltkreisleistung zu berücksichtigen.

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